Haskell

Monad까지의 여정 정리

"Learn You a Haskell for Great Good!"을 중심으로 한 Monad 이해 과정의 정리

HaskellFunctorApplicative FunctorMonoidMonad

현재 Learn You a Haskell for Great Good!을 통해 Haskell을 배우고 있는데(사실 Haskell이 목적이 아닌 Monad가 목적인 불순한 놈이다), 후반부에 Monad를 배우기 위한 단계단계가 잘 머리에 새겨놓지 않으면 모래성같이 다시 흩어질 수 있어 이를 막기 위해 포스트로 정리하여 남긴다.

GitHub 레포에 ipynb 파일로 작성하였으나, 다시보기 용으로는 그닥 도움이 되지 않는듯하다.

책과 같은 순서로 Functor, Applicative Functor, Monoid, Monad 순으로 정리한다.

A monad is just a monoid in the category of endofunctors, what's the problem?를 이해하기 위해 짱구를 열심히 돌려보자!

  1. Functor

    1. Functor란
    2. fmap
    3. Functor 규칙
    4. 관련 링크

  2. Applicative Functor

    1. Applicative Functor란?
    2. pure
    3. <*>
    4. Applicative Functor 규칙
    5. 관련 링크

  3. Monoid

    1. Monoid란?
    2. mempty
    3. mappend
    4. mconcat
    5. Monoid 규칙
    6. 관련 링크

  4. Monad

    1. Monad란?
    2. return
    3. fail
    4. >>=
    5. >>
    6. do 표기법
    7. Monad 규칙
    8. 관련 링크

Functor

Functor란

class Functor (f :: * -> *) where
    fmap :: (a -> b) -> f a -> f b
    -- 이때 f는 type 생성자이다. (Maybe 같은 것)
    -- 함수와 f a타입 값을 받아 f b타입 값을 돌려주는 것
    -- ex> (Int -> String) -> Maybe Int -> Maybe String

Functor는 매핑될 수 있는 것을 의미한다.

Functor 값을 컨텍스트(Context)가 추가된 값으로 볼 수 있다.

Maybe, Either, [], IO, (->) r(함수) 등이 Functor에 속한다.

fmap

Functor 클래스에 선언된 fmap을 아래 2가지로 이해할 수 있다.

  • 함수와 펑터 값을 받아 그 펑터 값에 함수를 매핑하는 함수
    • fmap (+3) (Just 3)
    • (Just 3 에 (+3) 해서 Just 6가 됨)
  • 함수를 받아서 그 함수를 올리는(lift) 함수, 즉 펑터 값에서 동작
    • fmap (+3) (\*5)
    • (*5) 함수에 (+ 3)를 해서 (\x -> (x * 5) + 3)가 됨

Functor 규칙

  1. 펑터값에 ID 함수를 매핑하면 돌려받은 펑터값은 원본 펑터값과 동일해야한다
    • fmap id == id
  2. 두개의 함수를 합친 다음에 합한 함수를 펑터에 매핑하는 것은 펑터에 하나의 함수를 먼저 매핑한 다음에 다른 함수를 매핑하는 것과 동일해야한다.
    • fmap (f.g) = fmap f . fmap g

위는 하스켈에 의해 자동으로 적용되지 않기 때문에, 사용자가 직접 테스트해야한다.

관련 링크

Applicative Functor

Applicative Functor란?

class Functor f => Applicative (f :: * -> *) where
  pure :: a -> f a
  (<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b
  GHC.Base.liftA2 :: (a -> b -> c) -> f a -> f b -> f c

Applicative는 Functor이어야하며, 펑터값 간의 결합을 지원한다. Applicative는 실용적인, 응용적인 이라는 뜻이다.

Maybe, [], IO, (-> r), ZipList 등이 Applicative에 속한다.

Applicative functors allow for functorial computations to be sequenced (unlike plain functors), but don't allow using results from prior computations in the definition of subsequent ones (unlike monads).

fmap(<$>)의 결과값이 Functor라서 줄줄이 이어 쓰지 못하는 Functor와 달리 Applicative는 Functor들의 computation들을 sequencing 할 수 있다.

다만, Monad에서 do notation의 이전 바인딩을 참조하는 것과 같은 행동을 Applicative는 하지 못한다.

[1,2,3] >>= (\x -> [x..x+3] >>= (\y -> pure (x,y)))

pure

모든 타입 값에 디폴트 컨텍스트를 씌운다.

<*>

  1. 컨텍스트(f)로 씌워진 함수(a -> b)와 2) 컨텍스트(f)로 씌워진 값(a)을 받아 3) 값을 함수에 적용한 후 컨텍스트를 씌워 반환한다.

Applicative Functor 규칙

  1. pure f <*> x = fmap f x
  2. Identity: pure id <*> v = v
  3. Composition: pure (.) <*> u <*> v <*> w = u <*> (v <*> w)
  4. Homomorphism: pure f <*> pure x = pure (f x)
  5. Interchange: u <*> pure y = pure ($ y) <*> u

관련 링크

Monoid

Monoid란?

class Semigroup a => Monoid a where
  mempty :: a
  mappend :: a -> a -> a
  mconcat :: [a] -> a

모노이드(영어: monoid)는 항등원(identity element)을 갖는, 결합 법칙을 따르는 이항 연산을 갖춘 대수 구조이다. 군의 정의에서 역원(inverse element)의 존재를 생략하거나, 반군의 정의에서 항등원의 존재를 추가하여 얻는다.

반군(半群, 영어: semigroup)은 결합법칙(associated law, 연산 순서에 관계 없이 결과 같음)을 따르는 하나의 이항 연산(binary operator)이 부여된 대수 구조이다.

[], Product, Sum, Any, All, Ordering, Maybe, First, Last 등이 해당한다.

mempty

모노이드의 항등원. 다형성 상수이다.

mappend

모노이드 두가지를 받아 모노이드를 반환하는 이진 함수이다.

mconcat

모노이드 값의 리스트를 받아서 요소 간에 mappend를 통해 하나의 모노이드 값으로 바꾸는 함수이다.

Monoid 규칙

  1. mempty mappend x = x
  2. x mappend mempty = x
  3. (x mappend y) mappend z = x mappend (y mappend z)

1,2번 규칙은 mempty가 항등원이라는 것을 의미하며, 3번 규칙은 결합 법칙이 성립함을 의미한다.

관련 링크

Monad

Monad란?

class Applicative m => Monad (m :: * -> *) where
  (>>=) :: m a -> (a -> m b) -> m b
  (>>) :: m a -> m b -> m b
  return :: a -> m a
  fail :: String -> m a

범주론에서, 모나드(영어: monad)는 내부 함자 범주의 모노이드 대상이다.

수학에서, 자기 사상(自己寫像, 영어: endomorphism 엔도모피즘)은 그 정의역과 공역이 같은 사상이다.

return

인자 값에 최소 디폴트 컨텍스트를 씌운다는 점에서 Applicative 타입의 pure 함수와 동일하다.

fail

모나드를 위한 구문 구조의 실패를 가능하기 위해 하스켈에 의해 사용된다.

가령, 런타임에서 패턴매칭에 실패하였을 때 error를 발생하여 프로그램을 충돌시키지 않고, 실패 컨텍스트를 반환하게 할 수 있다.

>>=

바인딩이라고 부른다. 모나드 값과 일반값을 받아 모나드 값을 반환하는 함수를 받아 모나드 내부 값에 함수를 적용하여 반환한다.

>>

(>>) :: (Monad m) -> m a -> m b -> m b
m >> n = m >>= \_ -> n

두 개의 모나드 값을 받아, 첫번째 모나드 값의 컨텍스트에 따라 두번째 모나드 값 혹은 실패 컨텍스트를 반환한다.

do 표기법

모나드를 쉽게 활용하기 위해서 하스켈에서는 do 표기법을 활용한다. 아래 식은 모두 동일하다.

모나드를 위한 let in 식이라고 생각할 수 있다.

Just 3 >>= (\x -> Just "!" >>= (\y -> pure (show x ++ y)))

do
    x <- Just 3
    y <- Just "!"
    return (show x ++ y)

Monad 규칙

  1. 좌항등원
    • return x >>= f = f x
  2. 우항등원
    • m >>= return = m
  3. 결합 법칙
    • (m >>= f) >>= g = m >>= (\x -> f x >>= g)
    • >>= g 입장에서는 컨텍스트 값을 받아야 하므로 우항과 같은 표현이 됨
    • 또한 m >>= 입장에서는 함수를 받아야하므로 우항과 같은 표현이 됨

모노이드 법칙과 같은 것을 알 수 있다.

<=< 는 . 용법과 같이 두 모나드 반환 함수를 합치는 데 사용된다.

관련 링크